Ejemplo de aplicación de medidas estadísticas

Reporte de Investigación /Ciencias Sociales

Medidas de tendencia central y de dispersión

María Magdalena Espinosa Martínez

UVM-Hispano

Resumen

El estudio de las medidas de dispersión en el nivel licenciatura, refleja la base de anteriores cursos de Estadística, cuya comprensión de las medidas, sean de dispersión o de tendencia central, no se basa sólo en el conocimiento de su cálculo, sino también en el funcional y en el analógico. El presente informe da cuenta de cómo el conocimiento de cálculo supera al conocimiento analógico y funcional cuando los estudiantes tienen que escribir respuestas a preguntas sobre la interpretación y la expresión simbólica de las medidas solicitadas. La mecanización del procedimiento es tal que, desarrollar el algoritmo implícito en la expresión simbólica que plantean, permite obtener resultados diferentes.

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Introducción *    Objetivo *   Dispersión de datos *

Actividad *   Análisis de resultados

Conclusiones * Referencias bibliográficas * Bibliografía complementaria * Acerca de la autora

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Introducción

La  importancia de las medidas de dispersión en la educación secundaria es valorada en pocas ocasiones como antecedente para cursos posteriores específicos de estadística y probabilidad. La práctica docente implica no sólo el uso de técnicas de enseñanza en general y de recursos materiales, sino que le subyace también la necesidad de construir los conocimientos pertinentes sobre el tema de estudio, cada vez que el docente interactúa con el alumno. El complejo de conceptos matemáticos plantea dificultades de comprensión de unos a falta de dar sentido a otros; tal es el caso de las frecuencias implicadas en la media aritmética y ésta, a su vez, en algunas medidas de dispersión (desviación media, desviación estándar, entre otras).

Objetivo

Tener un primer acercamiento al cálculo, tipos de expresión e interpretaciones que de las medidas de tendencia central y de dispersión ponen en juego los estudiantes de la Escuela Normal de Ecatepec de la Licenciatura en Matemáticas.

 

Dispersión de datos

En estadística la media es una medida representativa y su uso es común en la vida cotidiana. Ordinariamente, utilizarla implica realizar un cálculo cuyo resultado no se sabe interpretar. Ese conocimiento se basa principalmente en la ejecución de un algoritmo, resumido en una expresión matemática conocida comúnmente como “fórmula”. Pero eso no es comprender la medida en sí, lo cual plantea una limitación en la comprensión de otras medidas representativas que la incluyen. La comprensión del concepto de medidas de dispersión supone también el conocimiento funcional y el conocimiento analógico de la media y de la desviación estándar como un ejemplo de medidas de tendencia central y de dispersión.

“Por conocimiento funcional entendemos la comprensión de la media como un concepto significativo del mundo real”¹ en el plano de su uso en lo cotidiano, no sólo en cuanto al cálculo numérico, sino también en cuanto a los modos de expresión e interpretación accesibles a la vida diaria. Pollatsek, Lima y Well (1981) plantean que entre los estudiantes se tienen diferentes grados de conocimiento funcional sobre la media y que los contextos más concretos facilitan la comprensión de la misma. De tal modo que, la comprensión tenga un cambio, de situaciones concretas a modelos matemáticos abstractos.

El conocimiento de cálculo tendría que incluir el algoritmo de cálculo con información acerca de cómo obtener el resultado numérico apropiado. A su vez, la comprensión de las medidas de dispersión no implica sólo el concepto de media, sino también toda una serie de procesos de tipo algebraico y aritmético, como son el uso de porcentajes, conjuntos, mayor que, menor que, suma, multiplicación y sus inversos, exponentes, valor absoluto, entre otros; es decir, operar con números reales y naturales.

Se considera que el conocimiento analógico se traduce en imágenes (gráficas, tablas,…) del concepto, en este sentido la media como un punto de balance, en la que la distribución de los pesos se identifica con la distribución de frecuencias de datos elementales. En el caso de tablas no sólo son  una herramienta donde organizar un conjunto de datos sino son  la expresión del proceso cognitivo implicado en la comprensión de alguna medida.

Por ello, considerar que estudiantes y en ocasiones profesores resuelven problemas como si fuera sólo ejecutar un procedimiento puramente formal, únicamente en términos de cálculo basado en datos abstractos, puede conducir a un desempeño correcto en la aplicación mecánica del algoritmo. Ello tiene que ver, entre otros factores, con el tipo de enseñanza de las medidas representativas de un conjunto que se pone en juego, principalmente, cuando hay que dar herramientas a las docentes que impartirán asignaturas con contenidos de matemáticas.

Bajo la consideración de que  “Las características más importantes de una función de distribución son la esperanza y su desviación estándar. Ambas características son fundamentales para el hombre en nuestra sociedad, pues le permiten enfrentar críticamente y con seguridad datos estadísticos. A largo plazo, no es suficiente dar a la gente promedios sin mencionar nunca medidas de dispersión”², la relación entre medidas de tendencia central y medidas de dispersión se hace eminente, pues ambas permiten describir con precisión un conjunto de datos para realizar una interpretación de una parte de la realidad desde otra óptica, la que implica procesos de pensamiento hacia la inferencia. Es necesario prevenir concepciones erróneas que llevan no sólo a tener ideas equivocadas de cómo se aplican las matemáticas, sino a interpretar equivocadamente la realidad.

Las medidas de dispersión a considerar en esta ocasión son rango, desviación media y desviación estándar. La más sencilla es el rango; con ella se trata de diferenciar entre el valor mayor (o más alto) y el menor (o más bajo) de un conjunto de datos; es fácil de calcular y de comprender, ya que sólo expresa la distancia que existe entre los valores extremos del conjunto de datos. Una desventaja importante es que se basa sólo en dos valores, el mayor y el menor, por lo que no revela información sobre la concentración del resto de los datos del conjunto; sin embargo, sí indica qué tan extenso es ese conjunto.

La desviación media sí considera todos los datos del conjunto. Es el promedio de los valores absolutos de las desviaciones con respecto a la media; debido a que se toman desviaciones absolutas, suele denominarse desviación media absoluta. Tiene la ventaja de utilizar en su cálculo el valor de cada uno de los datos, no obstante “podría parecer que algunos conceptos son tan simples, tan básicos y tan generalizados, que las dificultades que se tienen al resolver problemas se debieran a falta de atención o de motivación, pero Skemp (1979) sugiere que con frecuencia no poseen los estudiantes sino una comprensión instrumental [que permite] reconocer una tarea como aquélla para la que se conoce una regla particular de, incluso, los más elementales conceptos cuantitativos”³ No obstante, como es difícil trabajar con los valores absolutos, no se usa frecuentemente.

La variancia y la desviación estándar se basan en las desviaciones con respecto a la media, siendo que la primera se entiende como la media aritmética de las desviaciones cuadráticas con respecto a la media, y la segunda es la raíz cuadrada de la variancia. Resulta difícil interpretar la variancia para un sólo conjunto de datos. Pero obtener la raíz cuadrada de la variancia, permite transformar el resultado obtenido a la misma unidad de medición utilizada para los datos originales, denominada desviación estándar; de esta forma se logra la separación entre uno y otro dato en relación a la media. Aplicar una medida de dispersión como la desviación media y la desviación estándar permite, evaluar la confiabilidad del promedio o de dos o más promedios que se estén utilizando. El caso de una dispersión pequeña indica que los datos se encuentran acumulados cercanamente, por ejemplo alrededor de la media. Por el contrario, una dispersión grande refiere que la media no es muy confiable, es decir, que no necesariamente es representativa de los datos. También las medidas de dispersión informan sobre cuán dispersas están dos o más distribuciones.

Gracias al conocimiento funcional “los datos numéricos de estadística descriptiva se pueden considerar como datos de un modelo. Desde un nivel más alto se les puede ver como parte de la realidad, lo cual significa pasar de la realidad palpable y visible a una ‘nueva realidad’ en la que las frecuencias relativas emergen como hechos reales”  […].  Considero como el objetivo más importante de la enseñanza en estocásticos que el alumno pueda acometer, sin mayores riesgos, afirmaciones estadísticas con aspiraciones científicas en la cotidianeidad’. Esto es en realidad lo que Bruner llama cultura”⁴ Señalar entonces al respecto que, el muestreo, de manera natural, utilizado para explicar la realidad, sólo es un modelo de un caso particular, cuyas conclusiones estadísticas se sugiere tomarlas con cautela.

Actividad

Para reflexionar acerca de los tipos de expresiones, el cálculo e interpretaciones de las medidas de dispersión y de tendencia central, que plantean los estudiantes de Licenciatura de la Escuela Normal de Ecatepec se trabajó la lección 19 denominada Dispersión de datos (Filloy et al, 2001), donde se alude a un planteamiento en el que se requiere tomar una decisión por parte del gobernante en un cierto lugar, a partir de un conjunto de datos de los habitantes, organizados en la Tabla A con el cálculo e interpretación de medidas de tendencia central y de dispersión, se propone arribar a la solución (Véase Tabla A).

Tabla A. Situación económica de una población

Periodo	Horas-hombre trabajadas (Millones de horas-hombre trabajadas por obreros)	Sueldos, salarios y prestaciones (Millones de pesos)	Valor agregado (Millones de pesos)	Personal ocupado (Miles de personas)
Enero	151.2	4 400.3	8 948.5	1 060.2
Febrero	153.8	4 591.0	9445.4	1 067.8
Marzo	169.1	5 075.2	10 440.9	1 090.0
Abril	167.4	5 048.5	9 892.0	1 104.9
Mayo	165.6	5 103.7	10 057.4	1 120.3
Junio	177.9	5 351.3	10 917.9	1 136.4
Julio	174.8	5 278.0	10 883.5	1 155.1
Agosto	174.8	5 208.4	10 605.0	1 165.2
Septiembre	188.7	5 762.3	11 439.4	1 187.3
Octubre	184.2	5 638.9	11 465.0	1 195.1
Noviembre	182.6	5 673.7	11 580.3	1 207.3
Diciembre	173.8	6351.2	12 589.8	1 196.7

Fuente: Filloy, E. et al. 2001, Matemática Educativa. Tercer grado, México: McGraw-Hill, pág. 81.

Se eligió dicha lección porque en ella se ponen en juego procesos de cálculo, expresión simbólica y gráfica, e interpretaciones de resultados obtenidos desde un contexto real, de la media, el rango, la desviación media, la desviación estándar y el número de desviaciones estándar.

La actividad se realizó la actividad en binas. Al inicio de la sesión se comenzó con la lectura, es decir, sólo la primera parte de la lección antes de “usa tus conocimientos”, para realizar un análisis de la Tabla  y de las ideas principales, mediante preguntas como: ¿Qué tipo de datos contiene?, ¿qué indican estos datos?, ¿cómo se pueden utilizar?, ¿para qué son útiles?, ¿están de acuerdo con lo planteado en el párrafo?, ¿cómo relacionarían los diferentes datos o cómo los organizarían para dar a Fortunato lo que pide?, ¿consideran de utilidad calcular el salario mensual por trabajador?, ¿qué significado le dan al resultado?, ¿en qué otros casos de la vida cotidiana aplican este tipo de cálculos y para qué sirven?. Hasta aquí, el concepto a trabajar en la lección fue media aritmética.

La medida de tendencia central llamada media, promedio o media aritmética se estudia en Estadística descriptiva. Al respecto, se preguntará: ¿Pueden graficar la medida? y si es así ¿dónde la localizarían?

Las binas llevaron a cabo la actividad de la sección “usa tus conocimientos” que la lección propone; realizando sus propios registros y al término de los cálculos se comentó en grupo sobre los resultados obtenidos para dar la interpretación a los mismos. También se solicitara el diseño de una gráfica para localizar el rango. Se continuó con la lección y se llevó a cabo la siguiente sección de “usa tus conocimientos”; se comentarán los resultados y se preguntará ¿qué utilizaron para ordenar los datos y cuáles pueden ser estrategias más efectivas para ordenarlos? El rango y la desviación media son conceptos a trabajar en esta sección, y tales son medidas de dispersión.

Se terminó la lectura de los siguientes párrafos, se realizaron los cálculos, la grafica para localizar la desviación estándar, y la interpretación al resultado de la gráfica y del cálculo numérico. La actividad concluyó con preguntas que conducen a reflexionar sobre la diferencia entre las medidas de tendencia central y las medidas de dispersión.

Al finalizar la actividad se aplicó un cuestionario a una población integrada por once estudiantes de tercero y cuarto grados del nivel Licenciatura de la Escuela Normal de Ecatepec y con quienes se trabajo la lección 19, anteriormente descrita. Con el cuestionario se pretende tener un primer acercamiento a los cálculos, el tipo de expresión e interpretación de medidas de tendencia central (media) y de dispersión (desviación media y desviación estándar) que ponen en juego los estudiantes; está compuesto de cinco preguntas a desarrollar, sea para trazar una gráfica donde localizar las medidas de tendencia central o de dispersión, sea para desarrollar un algoritmo que lleve a obtener un resultado numérico o para proponer una interpretación de lo obtenido. Para responder utilizarán los datos poblacionales de la primer Tabla A “Situación económica de una población” de la lección 19.

Análisis de resultados

Las respuestas obtenidas de la aplicación del cuestionario fueron analizadas desde los resultados del trabajo realizado por Pollatsek, Lima y Well (1981), en el que establecen que la comprensión instrumental puede ser entendida como el reconocimiento de una tarea de la que se conoce una regla particular o el algoritmo de cálculo para la obtención de la medida.  Estos autores hacen la distinción respecto a la comprensión relacional que es tener disponible un esquema o un conjunto de estructuras conceptuales que posibiliten resolver una clase más amplia de problemas. Subyacen a estas comprensiones varios tipos adicionales de conocimiento: El Conocimiento funcional referido a la comprensión de la medida como un concepto relacionado con el mundo real. El Conocimiento de cálculo adecuado incluiría una fórmula de cálculo complementada con información acerca de cómo obtener el resultado no sólo apropiado sino además de la forma más adecuada. Y el Conocimiento analógico podría incluir imágenes visuales, diagramas, tablas, figuras,….

A partir del orden alfabético de los apellidos se asignó a cada estudiante, que respondió al cuestionario, una letra del alfabeto que va de la ‘A’ a la ‘K’ con fines de identificación para el análisis de las respuestas.

        

En la pregunta uno y dos se solicitó el cálculo de la media, la desviación media y la desviación estándar, para obtener evidencia de cómo por medio del uso del algoritmo, aunado a los medios de expresión y de organización de datos se realizan los cálculos de las medidas solicitadas. En el caso del cálculo de la media, las 11 estudiantes obtuvieron el resultado numérico correcto; al analizar el procedimiento utilizado, nueve dieron a conocer sólo la suma total del valor agregado al año y la respectiva división entre 12. En el resultado no escribieron las unidades monetarias, es decir, la falta de uso de las unidades de referencia de los objetos del mundo, en este caso ‘pesos’ excepto una estudiante con la media y otra con el cálculo de las dos desviaciones, media y estándar. Nadie apuntó la representación simbólica completa:

Las seis estudiantes que intentaron escribirla presentan la letra griega Σ (sumatoria) seguida del valor agregado anual y dividida entre el número doce, es decir, hay combinación de números con un símbolo que no es afectado por la división ni tampoco separado de la cantidad numérica anual. Sólo dos de las 11 estudiantes expresaron simbólicamente la media con .

        

n el caso del cálculo de la desviación media las once estudiantes obtuvieron un resultado numérico correcto, sin embargo por el procedimiento de cálculo dos estudiantes debieron tener incorrecto el resultado por la presencia de dos o tres cifras de más en la columna de datos donde colocaron las diferencias con respecto a la media. Por otro parte una estudiante calculó la diferencia con respecto a la media invirtiendo el minuendo por el sustraendo y a la inversa, es decir, que obtuvo la diferencia de la media menos el dato, lo cual se refleja en los signos de las cantidades utilizadas; gracias al uso del valor absoluto que el concepto de la desviación media exige, no afectó al resultado final aún cuando si tiene implicaciones que sobre la comprensión del procedimiento hay.

La expresión simbólica del valor absoluto de la estudiante ‘F’ es con el nombre de valor agregado entre líneas paralelas y fuera de ellas menos la media, es decir, de tal modo que

si se lleva  a cabo el procedimiento de acuerdo a lo planteado, el resultado del cálculo sería cero. Entonces, ¿qué comprensión tiene de la desviación media? Dos estudiantes expresan una combinación de símbolos y números, por ejemplo: para representar valor absoluto escriben VA, para la media aritmética es M y después para completar la división con el total de datos colocan el número doce. Tres de las once escriben la expresión simbólica mediante la letra griega Σ que significa sumatoria, pero no aclaran suma de qué, dividida entre la letra N que expresa el número total meses.

Para el cálculo de la desviación estándar nueve estudiantes obtuvieron el resultado numérico correcto, pero el procedimiento de dos de las nueve es incorrecto. Una de ellas escribe la expresión simbólica mediante palabras, como lo plantea la lección pero el procedimiento es incorrecto.

        

En cuanto a la organización de los datos para calcular la suma de cuadrados de las desviaciones de la media, cinco estudiantes acomodaron verticalmente a modo de suma las  diferencias, tres colocaron encabezados sobre la lista, una con el nombre “desviación estándar”, otra las siglas “D.E.” y la tercer estudiante: , donde VA² significa Valor absoluto. Las expresiones simbólicas de cada una de cuatro estudiantes que la escribieron, refleja nuevamente la combinación de símbolo con número. El ejemplo claro son la respuesta de las estudiantes ‘H’ y ‘J’:

Dicha expresión simbólica da la apariencia de abreviar el procedimiento.

        

En cuanto a la pregunta número tres cuya intención fue obtener datos que den referencia de las interpretaciones que las estudiantes dan a cada uno de los resultados obtenidos en las preguntas anteriores. Sobre la interpretación de la media, de la desviación media y de la desviación estándar diez utilizaron por lo menos un resultado numérico obtenido para alguna de las medidas solicitadas. Seis  de las diez escribieron ‘pesos’ después del resultado numérico de la media, no fue así con las otras medidas puestas en juego. Lo que lleva a trabajar con cantidades abstractas por no tener algún elemento que permita contextualizar las medidas en un mundo real. Al plantear la interpretación no establecieron relaciones entre los datos obtenidos, sólo describieron la definición de cada medida haciendo uso de palabras como desviación, variable, variación, amplitud, rango, segmento, promedio por mes y promedio por año. Sólo una estudiante para el resultado de la desviación estándar y del número de las desviaciones estándar escribió que el grupo era poco heterogéneo. Mientras que dos estudiantes mencionaron que las ganancias obtenidas estaban “dentro del promedio”, escribieron la cantidad correcta.

En el reactivo cuatro se solicitó la elaboración de una gráfica de barras para localizar la media y la desviación estándar e interpretarlas posteriormente, con el fin de acceder al tipo de expresión gráfica y la interpretación que los estudiantes tienen. Excepto cuatro personas realizaron lo que Hernández (1978) llama un gráfico de líneas y no uno de barras, el resto gráfico lo que se conoce como histograma y fácilmente se confunde con una gráfica de barras. Dos de los que realizaron gráfico de líneas ubicaron por lo menos uno de los datos referentes a los meses en forma incorrecta, entonces la interpretación que se puede hacer de la relación que se establece de los meses con respecto a la media y a la desviación estándar puede ser modificada. Todas graficaron la media, con una línea  paralela al eje X y cruza por todos los meses del año, diez de las 11 estudiantes indican con nombre o con expresión simbólica  a la media y sólo una persona colocó la cantidad correspondiente. Al localizar en la gráfica la desviación estándar, siete estudiantes de las nueve que señalaron con una llave la medida, la ubicaron debajo del valor mínimo de los datos planteados en la Tabla de la lección 19, situaron con ello la desviación estándar fuera del conjunto de los datos. Una estudiante localizó la desviación media en lugar de la desviación estándar, y aún cuando no se solicitó, siete de las once, localizaron también la desviación media.

En la parte de la interpretación de la gráfica, sólo siete interpretaron; cuatro estudiantes realizaron sólo la descripción de las barras, líneas o histograma. Una estudiante estableció la relación entre la medida de dispersión y la de tendencia central; sólo dos ampliaron, dieron alternativas de acción ante la situación planteada en la lección, una de ellas confundió el sueldo de los empleados con el valor agregado.

De lo anterior se concluye, que  el conocimiento que tienen sobre los procesos de cálculo es diferente para los distintos estudiantes, unos manifestaron el desarrollo del algoritmo de manera correcta hasta la obtención de un resultado numérico. Sin embargo, es importante recuperar la simplificación que hace del procedimiento de cálculo algunos estudiantes, es decir, en vez de elevar al cuadrado cada una de las desviaciones  de la media, sólo elevaron al cuadrado la cantidad obtenida en la sumatoria para la desviación media absoluta y aún cuando el resultado es el mismo, la comprensión del procedimiento dista de ser igual.

Cuando los estudiantes desarrollan el algoritmo de una medida y organizan los datos más allá de la suma vertical, de modo tal que se entienda como una tabla de organización de datos, implica un proceso cognitivo de mayor complejidad, que sólo escribir una columna de cantidades, pero permite obtener información sobre la lógica utilizada en el desarrollo del algoritmo, incluso permite desarrollar el procedimiento para regresar sobre los pasos anteriores ya realizados.

En cuanto a la interpretación, excepto dos estudiantes escribieron más una descripción donde repitieron la(s) definición(es) del término(s) aisladamente una medida de las otras, es decir, no relacionan las representaciones de las medidas entre sí para dar una interpretación entonces la mecanización de los procedimientos es evidente; porque saben realizar cálculos pero en ocasiones no pueden plasmar como procedimiento o como representación simbólica. Por ejemplo cuatro estudiantes escribieron sólo la descripción de las barras, las líneas o del histograma en relación exclusivamente a la media y las medidas de dispersión no las consideran.

El conocimiento de cálculo está presente en las respuestas de las estudiantes, el conocimiento analógico y funcional no es expresado en la misma cantidad de veces que el de cálculo por ello es conveniente considerar que: “A menos que los ejemplos y los problemas proporcionen una práctica intensiva en la traducción de una variedad de contextos a [los diferentes tipos de conocimiento de algunos conceptos matemáticos], es poco probable que se pueda lograr la comprensión con algún grado de generalidad”⁵; ello implica no sólo la comprensión de la matemática sino también del mundo real donde habita, es decir, de donde extrae y/o aplica modelos matemáticos.

Conclusiones

Como consecuencia del análisis, de la actividad realizada en la Normal de Ecatepec, de los procesos puestos en juego por las estudiantes frente a preguntas específicas sobre medidas de tendencia central y de dispersión, y a partir de los resultados de Pollatsek, Lima y Well (1981). Se puede concluir, retomando las ideas de Heitele que, el “enfoque estocástico es algo como un modelo aunque no para resolver problemas estocásticos, sino para construir una currícula coherente y cuya utilidad tal puede mostrarse solamente usándolo en la enseñanza a todos los niveles”⁶. Porque lo que es necesario es integrar, tan temprano como sea posible, actividades estocásticas con actividades en matemáticas de diversa índole y, en todos los casos, respetar y desarrollar conexiones significantes con la realidad, con el mundo del alumno. Para este propósito se necesitan profesores que sepan lo que es realmente fundamental en estocásticos.

Referencias bibliográficas

1. Pollatsek, A.; Lima, S.; Well, D.: 1981, Concepto o cálculo: comprensión de la media en estudiantes. Educational Studies in Mathematics 12, págs. 191-204.  Holland: Reidle Publishing. (Traducción del inglés para fines educativos: Ojeda A. M.).

2.   Heitele, D.: 1975, An Epistemological View on Fundamental Stochastic Ideas. Educational Studies of Mathematics 6. págs. 187-205. Holland: Reidel. (Traducción para fines educativos, Ojeda, A. M.; Departamento de Matemática Educativa del Cinvestav del IPN, 1993, México).

3. Pollatsek, A.; Lima, S.; Well, D.: 1981, Concepto o cálculo: comprensión de la media en estudiantes. Educational Studies in Mathematics 12, págs.3 - 4  Holland: Reidle Publishing. (Traducción del inglés para fines educativos: Ojeda A. M.).

4.   Heitele, D.: 1975, An Epistemological View on Fundamental Stochastic Ideas. Educational Studies of Mathematics 6. págs. 6 - 10. Holland: Reidel. (Traducción para fines educativos, Ojeda, A. M.; Departamento de Matemática Educativa del Cinvestav del IPN, 1993, México).

5. Pollatsek, A.; Lima, S.; Well, D.: 1981, Concepto o cálculo: comprensión de la media en estudiantes. Educational Studies in Mathematics 12, pág.14  Holland: Reidle Publishing. (Traducción del inglés para fines educativos: Ojeda A. M.).

6.   Heitele, D.: 1975, An Epistemological View on Fundamental Stochastic Ideas. Educational Studies of Mathematics 6. Pág. 22  Holland: Reidel. (Traducción para fines educativos, Ojeda, A. M.; Departamento de Matemática Educativa del Cinvestav del IPN, 1993, México).

Bibliografía complementaria

1.    Filloy, E., et al.: 2001, Matemática Educativa. Tercer Grado. México: McGraw-Hill.

2.    Hernández, O.: 1978, Elementos de probabilidad y estadística. México: Fondo de Cultura Económica.

3.    Mason, D., y Lind, A.: 1998, Estadística para administración y economía. (8° ed.). México: Grupo Alfaomega.

Acerca de la autora

María Magdalena Espinosa Martínez

Licenciada en Psicología por la UAM-Xochimilco. En el CINVESTAV del IPN obtuvo el grado de Maestra en Ciencias con especialidad en Matemática Educativa. Ha presentado en la RELME artículos sobre la comprensión estadística en estudiantes universitarios de Ciencias Sociales. Actualmente es docente de nivel superior y de posgrado.